忽必烈是蒙古帝国的第五位大汗，他统治期间实现了从蒙古草原到中国腹地、南亚、东南亚和中东的大规模扩张，建立了以元朝为中心的庞大汗国。然而，这个汗国在其鼎盛时期也面临着诸多挑战。
首先，忽必烈为了巩固自己的统治需要处理好中央集权与地方自治之间的关系。他采取了一系列措施，如设立官僚机构，推行科举制度，以此来稳定国内政局并加强对外政策的执行力。例如，他将元朝分为13个路，由各路总管负责管理，并且在重要城市设置府尹，对地方进行有效控制。
其次，在文化上，忽必烈鼓励各种文化交流，使得汉族文化与其他民族文化相互融合。这一过程中产生了许多新的艺术形式和文学作品，比如说书人绘卷等，它们不仅反映了当时社会生活，还展示了不同民族之间相互学习、借鉴的情景。
再者，在经济方面，忽必烈推行了一系列改革措施，加强税收体系，从而促进农业发展和贸易繁荣。他还提倡使用纸币作为货币标准，有助于减少物质流通中的交易成本，并提升国家财政收入。但同时，这也引发了一些问题，比如过度依赖纸币可能导致通货膨胀，以及对农民造成负担，因为他们需要支付高额税款。
此外，在军事上，尽管蒙古骑兵在远征时极具优势，但长期驻扎则需要更多资源投入。随着时间的推移，一些地区开始反抗元朝统治，而这些抵抗运动往往由当地贵族或宗教领袖领导，他们利用民族主义情绪和宗教信仰来凝聚力量，对元朝构成威胁。
最后，在国际关系方面，即使是在最鼎盛的时候，也存在着来自欧洲十字军联盟以及其他亚洲国家（如日本）的压力。在这种背景下，忽必烈必须不断调整策略以维护国家安全，同时保持对周边地区的影响力。此外，与伊斯兰世界接壤的地方更是充满争议，不断发生冲突，如征服宋朝后的一系列战斗，以及之后与明太祖朱棣间不断的小规模战争都表明这一点。
综上所述，无论是在政治、文化、经济还是军事上的角度看，都可以看到忽必烈建立的是一个庞大的汗国。但同时，这个汗国也是面临诸多挑战，其中一些问题甚至到了无法解决的地步，最终导致它逐渐衰落。不过，就像所有伟大的历史事件一样，无论是辉煌还是衰败，都留下了深刻印记，为后世提供宝贵经验。
